12372. Окружность \omega
с центром I
вписана в выпуклый четырёхугольник ABCD
и касается стороны AB
в точке M
, стороны CD
— в точке N
, при этом \angle BAD+\angle ADC\lt180^{\circ}
. На прямой MN
выбрана точка K
, отличная от M
, для которой AK=AM
. В каком отношении прямая DI
может делить отрезок KN
? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых AB
и CD
(такая есть по условию, иначе \angle BAD+\angle ADC=180^{\circ}
). Тогда треугольник PMN
равнобедренный, а значит,
\angle BMN=\angle CNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MPN)=\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ADC)\lt90^{\circ}.
Следовательно, точка K
лежит на продолжении отрезка MN
за точку M
, причём
\angle CNM=\angle BMN=\angle KMA=\angle AKM,
(в частности, треугольники AKM
и PNM
подобны).
Пусть вписанная окружность данного четырёхугольника касается стороны AD
в точке L
. Треугольник KAL
равнобедренный (AK=AM=AL
) и, следовательно,
\angle ALK=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle KAL=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle KAM+\angle MAL)=
=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle PAD+\angle APD)=\frac{1}{2}\angle ADP=\angle ADI.
Это означает, что KL\parallel DI
.
Прямая DI
делит пополам отрезок LN
(см. задачу 1180), а из параллельности ID
и KL
следует, что средняя линия треугольника KNL
лежит на прямой DI
, а значит, прямая DI
делит отрезок KN
пополам.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019-2020, второй (очный) этап, задача 3, 9-10 класс
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2018-2019, заключительный этап, задача 3, 9-10 классы