12373. Расстояния от точки P
, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его вершин равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 9+\frac{25\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть ABC
— данный равносторонний треугольник, P
— точка внутри него, причём PA=3
, PB=4
и PC=5
. Построим ещё один равносторонний треугольник ACC_{1}
и отметим внутри него точку P_{1}
, для которой P_{1}A=3
, P_{1}C=4
и P_{1}C_{1}=5
(или, что то же самое, построим образ треугольника ABC
и точки P
при повороте вокруг точки A
на угол 60^{\circ}
, переводящем вершину B
в вершину C
, а C
— в C_{1}
).
Тогда AP_{1}=AP
и \angle APP_{1}=60^{\circ}
, поэтому треугольник APP_{1}
равносторонний. Значит, PP_{1}=AP=3
. Таким образом, PP_{1}=3
, P_{1}C=5
, P_{1}C=4
. Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник PP_{1}C
прямоугольный с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5, а его площадь равна 6. Площадь равностороннего треугольника PP_{1}A
со стороной 3 равна \frac{9\sqrt{3}}{4}
. Учитывая равенство треугольников APB
и AP_{1}C
, получаем
S_{\triangle APB}+S_{\triangle CPA}=S_{\triangle AP_{1}C}+S_{\triangle CPA}=S_{\triangle CPP_{1}}+S_{\triangle APP_{1}}=6+\frac{9\sqrt{3}}{4}.
Рассуждая аналогично, получаем равенства
S_{\triangle CPA}+S_{\triangle BPC}=6+\frac{25\sqrt{3}}{4},~S_{\triangle BPC}+S_{\triangle APB}=6+\frac{16\sqrt{3}}4.
Складывая три полученных соотношения и деля сумму пополам, получаем
S_{ABC}=9+\frac{25\sqrt{3}}{4}.
Примечание. См. также решение задачи 2858.