12374. Точка K
лежит на стороне AD
квадрата ABCD
, причём KD:KA=2
. Прямая, симметричная CD
относительно CK
, пересекает сторону AB
в точке L
. Найдите величину 5AL:LB
.
Ответ. 7.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых CL
и AD
, сторона квадрата равна 1, а AP=x
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{CP}{KP}=\frac{CD}{KD}
. По теореме Пифагора
CP^{2}=PD^{2}+CD^{2}=(1+x)^{2}+1.
Таким образом, получаем уравнение
\frac{\sqrt{(1+x)^{2}+1}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{2}.
После возведения обеих частей в квадрат и очевидных упрощений получаем уравнение 5x^{2}-2x-7=0
. Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень x=\frac{7}{5}
.
Треугольники PAL
и CBL
подобны с коэффициентом \frac{AP}{BC}=\frac{7}{5}
. Значит, \frac{AL}{LB}=\frac{7}{4}
, откуда
\frac{5AL}{LB}=5\cdot\frac{AL}{LB}=5\cdot\frac{7}{5}=7.
Примечание. Варианты этой задачи.
2. Если KD:KA=3
, то 7AL:LB=17
.
3. Если KD:KA=4
, то 9AL:LB=31
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018-2019, отборочный этап, задача 4, 8-9 класс
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2018-2019, отборочный этап, задача 4, 9-10 классы