12385. Диагонали трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) пересекаются в точке S
. Известно, что AD\perp AC
и BS=2CD
. Докажите, что \angle CDB=2\angle ADB
.
Решение. Отметим середину M
отрезка BS
. Треугольник BCS
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, поэтому его медиана CM
равна половине гипотенузы BS
(см. задачу 1109), т. е. равна CD
, а так как по условию BS=2CD
, то CD=CM
. Значит, MCD
равнобедренный. Тогда \angle CDM=\angle CMD
.
В равнобедренном треугольнике BCM
углы MBC
и MCB
равны, и равны половине внешнего угла CMD
. Кроме того, углы CBM
и ADB
равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC
и AD
и секущей BD
. Следовательно,
\angle CDM=\angle CMD=2\angle CBM=2\angle BDA.