12392. Точки G
, F
, E
, D
— соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что \angle GFD=144^{\circ}
. Сколько вершин у этого многоугольника?
Ответ. 15.
Решение. Пусть углы данного правильного n
-угольника равны \alpha
, а угол при основании DF
равнобедренного треугольника DEF
равен \beta
. Тогда (см. задачу 1198)
\alpha=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n},~\beta=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{90^{\circ}(n-2)}{n}=\frac{180^{\circ}}{n}.
Из условия следует, что
144^{\circ}=\angle GFD=\angle EFG-\angle EFD=\alpha-\beta=
=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}-\frac{180^{\circ}}{n}=\frac{180^{\circ}(n-3)}{n},
откуда n=15
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2015-2016, отборочный интернет-этап, задача 1, 10-11 класс