12396. В прямоугольном треугольнике ABC
провели биссектрису AL
и отметили на гипотенузе AB
точку K
, для которой AB=3BK
. Оказалось, что угол ALK
прямой. Докажите, что AL=BL
.
Решение. Первый способ. Обозначим BK=m
, \angle BAL=\angle CAL=\alpha
. Пусть M
— середина отрезка AK
. Тогда LM
— медиана прямоугольного треугольника ALK
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109)
LM=\frac{1}{2}AK=m,~\angle ALM=\angle MAL=\alpha.
Тогда ML\parallel AC
, поэтому ML\perp BC
. Кроме того,
AM=\frac{1}{2}AK=m,~BM=AB-AM=3m-m=2m.
В прямоугольном треугольнике BLM
катет LM=m
вдвое меньше гипотенузы BM=2m
, значит,
\angle ABC=\angle MBL=30^{\circ},
\angle BAL=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}=\angle ABL.
Следовательно, треугольник ABL
равнобедренный, AL=BL
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим BK=c
. Тогда AK=2c
. Отметим середину M
отрезка AK
. Тогда AM=MK=\frac{1}{2}AK=c
. Отрезок LM
— медиана прямоугольного треугольника ALK
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
ML=\frac{1}{2}AK=AM=c.
Треугольник AML
равнобедренный, поэтому
\angle ALM=\angle LAM=\angle LAC.
Значит, ML\parallel AC
. Треугольник ABC
подобен треугольнику MBL
с коэффициентом \frac{AB}{BM}=\frac{3}{2}
, поэтому
AC=\frac{3}{2}ML=\frac{3}{2}c=\frac{1}{2}AB.
Катет AC
прямоугольного треугольника ABC
вдвое меньше гипотенузы, поэтому \angle ABC=30^{\circ}
. Тогда
\angle BAL=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}=\angle ABL.
Треугольник ALB
равнобедренный, следовательно, AL=BL
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2014-2015, заключительный этап, задача 4, 7 класс