12418. В трапеции ABCD
основание BC
вдвое меньше AD
; DD_{1}
— перпендикуляр, опущенный на прямую AB
. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника BCD_{1}
, касается стороны AD
, то трапеция равнобокая.
Решение. Пусть точка E
— середина стороны AD
. Тогда AE=D_{1}E
как медиана прямоугольного треугольника ADD_{1}
, проведённая к гипотенузе (см. задачу 1109), откуда \angle AD_{1}E=\angle BAD
. Поскольку BC=AE=ED
, четырёхугольники ABCE
и BCDE
параллелограммы. Тогда
\angle CED_{1}=\angle AD_{1}E=\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABC.
Значит, точки B
, C
, D_{1}
и E
лежат на одной окружности, которая описана около треугольника BCD_{1}
и касается стороны AD
. Тогда E
— точка касания окружности с основанием AD
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BCE=\angle AEB
, поэтому
\angle BAD=\angle BAE=\angle BCE=\angle AEB=\angle ADC.
Значит, трапеция ABCD
равнобокая.
Примечание. Для треугольника, образованного прямыми AB
, CD
и DA
, отрезок BC
— средняя линия, а отрезок DD_{1}
— высота, поэтому окружность, указанная в задаче, — окружность девяти точек этого треугольника. Раз она касается стороны AD
, то основания высоты и медианы, опущенных на эту сторону, совпадают, следовательно, треугольник равнобедренный, а данная трапеция равнобокая.