12419. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки E
и F
(точка E
между A
и F
), причём треугольник CEF
равносторонний; точка D
— середина гипотенузы. Докажите, что \angle DCF=2\angle ACE
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BCF=\angle CFE-\angle CBF=60^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle ACE=\angle ACB-\angle ECF-\angle BCF=90^{\circ}-60^{\circ}-(60^{\circ}-\beta)=\beta-30^{\circ}.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник BCF
равнобедренный, \angle BCD=\angle CBD=\beta
, а так как ADC
— его внешний угол, то
\angle DCF=\angle ADC-\angle CFD=2\beta-60^{\circ}=2(\beta-30^{\circ})=2\angle ACE.
Что и требовалось доказать.