12426. Одна прямая, проходящая через точку M
, лежащую вне окружности радиуса 17, касается этой окружности в точке C
, а вторая прямая, проходящая через точку M
, пересекает окружность в точках A
и B
, причём MA=2
и MC=8
. Найдите расстояние от центра окружности до второй прямой.
Ответ. 8.
Решение. Заметим, что точка A
лежит между B
и M
. Обозначим AB=x
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) MC^{2}=MA\cdot MB
, или 8^{2}=2(2+x)
, откуда x=30
.
Опустим перпендикуляр OD
из центра O
окружности на хорду AB
. Тогда D
— середина AB
(см. задачу 1676). Следовательно,
DA=\frac{1}{2}AB=15,~OD=\sqrt{OA^{2}-DA^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8.