12428. Из точки K
, расположенной вне окружности, проведены касательная KL
(L
— точка касания) и секущая KMN
(точка M
между K
и N
). Найдите KL
, если MN=4
, LM=3
, NL=6
.
Ответ. \frac{8}{3}
.
Решение. Обозначим KL=x
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle KLM=\angle LNM=\angle LNK.
Значит, треугольники KLN
и KML
подобны по двум углам (угол при вершине K
— общий), причём коэффициент подобия равен \frac{LN}{ML}=\frac{6}{3}=2
. Тогда KN=2KL=2x
По теореме о касательной и секущей
KL^{2}=KN\cdot KM=KN(KN-MN),~\mbox{или}~x^{2}=2x(2x-4),
откуда x=\frac{8}{3}
.