12443. Окружность проходит через две соседние вершины квадрата и касается противоположной стороны. Найдите сторону квадрата, если известно, что она на 1 меньше диаметра окружности.
Ответ. 4.
Решение. Пусть окружность проходит через вершины A
и B
квадрата ABCD
и касается стороны CD
в точке E
. Тогда диаметр EF
окружности пересекает сторону AD
в её середине M
(см. задачу 1676).
Обозначим через x
сторону квадрата. Тогда
EM=x,~MA=\frac{x}{2},~MF=EF-EM=EF-AD=1,~
а так как \angle EAF=90^{\circ}
, то отрезок AM
— высота прямоугольного треугольника EAF
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
AM^{2}=EM\cdot MF,~\mbox{или}~\frac{x^{2}}{4}=x\cdot1,
откуда x=4
.