12446. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
и AC
в точках A_{1}
и B_{1}
, а вневписанная окружность, соответствующая стороне AB
, касается продолжений этих сторон в точках A_{2}
и B_{2}
соответственно. Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность касается стороны AB
в точке K
. Обозначим через O_{a}
и O_{b}
центры описанных около треугольников A_{1}A_{2}K
и B_{1}B_{2}K
окружностей. Докажите, что прямая O_{a}O_{b}
проходит через середину отрезка AB
.
Решение. Обозначим вписанную и вневписанную окружности через \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Пусть окружность \omega_{2}
касается стороны AB
в точке , а KP
и NR
— диаметры окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Точка C
— центр гомотетии, переводящей окружность \omega_{1}
в \omega_{2}
. При этой гомотетии точка P
перейдёт в точку N
, а точка K
— в точку R
.
Обозначим вторые точки пересечения прямой CR
с окружностями \omega_{1}
и \omega_{2}
через T
и Q
соответственно. При рассматриваемой гомотетии точке T
соответствует точка Q
, а точке A_{1}
— точка A_{2}
. Следовательно,
\angle QA_{2}C=\angle TA_{1}C=\angle TKA_{1},
значит, четырёхугольник вписанный. Тогда точка Q
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}KA_{2}
. Аналогично, точка Q
лежит на описанной окружности треугольника B_{1}QB_{2}
. Следовательно, отрезок KQ
— общая хорда этих окружностей, поэтому прямая O_{a}O_{b}
— серединный перпендикуляр к отрезку KQ
.
Пусть M
— середина отрезка AB
. Для решения задачи достаточно показать, что точка M
равноудалена от концов отрезка KQ
, т. е. также лежит на серединном перпендикуляре к нему. Поскольку M
— середина стороны AB
(см. задачу 4805б), а RN
— диаметр окружности \omega_{2}
, то треугольник KQN
прямоугольный, а QM
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
MQ=\frac{1}{2}KN=MK.
Отсюда следует доказываемое утверждение. ,
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2016, задача 4, 10 класс