12447. В треугольнике ABC
из вершины C
наибольшего угла проведена высота CH
. Отрезки HM
и HN
— высоты треугольников AMH
и BNH
соответственно, а HP
и HQ
— биссектрисы треугольников AMH
и BNH
. Пусть точка R
— основание перпендикуляра из точки H
на прямую PQ
. Докажите, что R
— точка пересечения биссектрис треугольника MNH
.
Решение. Высота CH
проведена из вершины наибольшего угла треугольника ABC
, значит, точка H
лежит на отрезке AB
(см. задачу 127а). Заметим, что \angle CHM=\angle HAC
. Обозначим эти углы через \alpha
. Внешний угол CPH
при вершине P
треугольника AHP
состоит из угла \alpha
и половины угла AHM
, и угол CHP
состоит из тех же углов. Следовательно, треугольник CPH
равнобедренный, CP=CH
. Аналогично, CQ=CH
. Значит, точки P
, H
и Q
лежат на окружности с центром в точке P
и радиусом CH
. Вписанный в эту окружность угол QPH
равен половине соответствующего центрального угла BCH
.
Поскольку из точек M
и N
отрезок CH
виден под прямым углом, точки M
и N
лежат на окружности с диаметром CH
. Из точек M
и R
отрезок PH
тоже виден под прямым углом, значит, точки M
и R
лежат на окружности с диаметром PH
. Значит,
\angle RMH=\angle RPH=\angle QPH=\frac{1}{2}\angle BCH=\angle NMH.
Тогда луч MR
— биссектриса угла NMH
. Аналогично, луч NR
— биссектриса угла MNH
. Следовательно, R
— точка пересечения биссектрис треугольника MNH
.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2016, задача 4, 9 класс