12449. На стороне AC
треугольника ABC
нашлась такая точка D
, что CD=BC
. Пусть J
— центр вписанной окружности треугольника ABD
. Докажите, что одна из касательных из точки J
ко вписанной окружности треугольника ABC
параллельна прямой BD
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку J
пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Луч BJ
— биссектриса угла ABD
, поэтому
\angle MBJ=\angle DBJ=\angle BJM.
Значит, треугольник BMJ
равнобедренный, MJ=BM
. Аналогично, треугольник DNJ
равнобедренный, DN=NG
. Тогда
BC+MN=DC+MN=DC+(MJ+NJ)=
=DC+(BM+DN)=(DC+DN)+BM=CD+BM.
Следовательно, в четырёхугольник можно вписать окружность (см. задачу 364). Эта окружность касается всех сторон треугольника ABC
. Значит, это его вписанная окружность, а JM
— касательная к ней, параллельная BD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2021, задача 4, 10 класс