12450. В треугольнике ABC
проведены высоты AD
и BE
. Биссектриса угла BEC
пересекает прямую AD
в точке M
, а биссектриса угла ADC
пересекает прямую BE
в точке N
. Докажите, что MN\parallel AB
.
Решение. Лучи EM
и DN
— биссектрисы прямых углов BEC
и ADC
, поэтому \angle BED=\angle MDN=45^{\circ}
. Тогда
\angle MEN=180^{\circ}-45^{\circ}=180^{\circ}-\angle MDN,
значит, четырёхугольник BMEN
вписан в окружность. Вписанные в эту окружность углы MNE
и MDE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MNE=\angle MDE=\angle ADE.
С другой стороны, из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы ADE
и ABE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADE=\angle ABE
. Таким образом
\angle ABE=\angle ADE=\angle MNE.
Следовательно, MN\parallel AB
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Прямые MN
и DE
антипараллельны (см. задачу 4673), прямые DE
и AB
также антипараллельны, следовательно, прямые MN
и AB
параллельны (см. задачу 141).