4673. Высоты AA_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точка B_{0}
— середина стороны AC
. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB_{0}
и HB_{0}
относительно биссектрис углов ABC
и AHC
соответственно, лежит на прямой A_{1}C_{1}
.
Указание. Отобразите треугольник BA_{1}C_{1}
относительно биссектрисы угла ABC
(или воспользуйтесь задачей 10341а).
Решение. Первый способ. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому
\angle BA_{1}C=180^{\circ}-\angle CA_{1}C_{1}=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle CAB)=\angle CAB.
Аналогично, \angle BC_{1}A_{1}=\angle ACB
.
При симметрии относительно биссектрисы угла ABC
точка A_{1}
перейдёт в некоторую точку A_{2}
, лежащую на прямой AB
, а точка C_{1}
— в точку C_{2}
, лежащую на прямой BC
, при этом
\angle BC_{2}A_{2}=\angle BC_{1}A_{1}=\angle ACB.
Следовательно, A_{2}C_{2}\parallel AC
, поэтому треугольник BA_{2}C_{2}
гомотетичен треугольнику BAC
, значит, медиана BB_{0}
треугольника ABC
проходит через середину отрезка A_{2}C_{2}
. Тогда прямая, симметричная BB_{0}
относительно биссектрисы угла ABC
, проходит через середину отрезка AC
.
Заметим, что B
— точка пересечения высот тупоугольного треугольника AHC
, а HB_{0}
— медиана этого треугольника. Аналогично предыдущему доказывается, что прямая, симметричная HB_{0}
относительно биссектрисы угла AHC
, также проходит через середину отрезка A_{1}C_{1}
. Следовательно, прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются на прямой A_{1}C_{1}
.
Второй способ. Пусть прямая, симметричная BB_{0}
относительно биссектрисы угла ABC
(т. е. прямая, содержащая симедиану треугольника ABC
), пересекает отрезок A_{1}C_{1}
в точке M
. Поскольку отрезки A_{1}C_{1}
и AC
антипараллельны, а B_{0}
— середина AC
, то M
— середина A_{1}C_{1}
(см. задачу 10341).
Аналогично, прямая, симметричная HB_{0}
относительно биссектрисы угла AHC
(т. е. прямая, содержащая симедиану тупоугольного треугольника AHC
), пересекает отрезок A_{1}C_{1}
в его середине M
, так как отрезки A_{1}C_{1}
и AC
антипараллельны, а B_{0}
— середина AC
(см. задачу 10341).
Следовательно, прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются на прямой A_{1}C_{1}
.
Примечание. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.