12452. В равнобедренном треугольнике ABC
(AC=BC
) на биссектрисе BN
нашлась точка K
, для которой KB=KC
и NK=NA
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 40^{\circ}
, 40^{\circ}
, 100^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABN=\angle CBN=\alpha
. Поскольку треугольник BKC
равнобедренный,
\angle BCK=\angle CBK=\alpha.
Пусть прямая CK
пересекает сторону AB
в точке Z
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle BKZ=2\alpha
, а так как \angle NAZ=2\alpha
, то четырёхугольник ANKZ
вписан в окружность. Вписанные в эту окружность углы AZN
и KZN
опираются на равные хорды NA=NK
, поэтому ZN
— биссектриса треугольника AZC
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AZC=\angle BCZ+\angle CBZ=\alpha+2\alpha=3\alpha,
поэтому
\angle ACZ=180^{\circ}-\angle BAC-\angle AZC=180^{\circ}-2\alpha-3\alpha=180^{\circ}-5\alpha.
По теореме синусов
\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAC}=\frac{\sin(\alpha+(180^{\circ}-5\alpha))}{\sin2\alpha}=\frac{\sin4\alpha}{\sin2\alpha}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{NC}=\frac{AZ}{CZ}=\frac{\sin(180^{\circ}-5\alpha)}{\sin2\alpha}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}.
Таким образом \frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin4\alpha}{\sin2\alpha}
, или \sin5\alpha=\sin4\alpha
, откуда либо 5\alpha=4\alpha
, т. е. \alpha=0^{\circ}
, что невозможно, либо 5\alpha=180^{\circ}-4\alpha
, Откуда \alpha=20^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle ABC=2\alpha=40^{\circ},~\angle ACB=180^{\circ}-4\alpha=100^{\circ}.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2012