12463. В равнобокой трапеции ABCD
точка O
— середина основания AD
. Окружность с центром в точке O
и радиусом OB
касается прямой AB
. Пусть отрезок AC
пересекает эту окружность в точке K
, отличной от C
, и пусть M
— такая точка, что ABCM
— параллелограмм. Описанная окружность треугольника CMD
пересекает отрезок AC
в точке L
, отличной от C
. Докажите, что AK=CL
.
Решение. Докажем равенство треугольников ABK
и CML
.
Поскольку ABCD
— равнобокая трапеция, а ABCM
— параллелограмм, то
\angle CDM=\angle MAB=\angle BCM.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая BC
касается описанной окружности четырёхугольника MLCD
, а так как прямая AB
касается описанной окружности треугольника BCK
, то
\angle LMC=\angle LCB=\angle KBA.
Из параллельности прямых AB
и CM
получаем, что \angle BAK=\angle LCM
, треугольники ABK
и CML
равны по стороне (AB=CM
) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AK=CL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2018, задача 1, 11 класс