12465. Касательные в точках B
и C
к окружности \omega
, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
, пересекаются в точке S
. Пусть M
— середина стороны AB
, а H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Прямая HA
пересекает прямые CM
и CS
в точках M_{a}
и S_{a}
соответственно. Аналогично определены точки M_{b}
и S_{b}
. Докажите, что M_{a}S_{b}
и M_{b}S_{a}
— высоты треугольника M_{a}M_{b}H
.
Решение. Пусть AC\gt BC
, а AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. По свойству симедианы (см. задачу 10499) \angle ACM=\angle SCB
, а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle S_{a}M_{a}M_{b}=\angle HAC+\angle ACM=\angle HBC+\angle SCB=\angle M_{b}S_{b}C,
то точки M_{a}
, M_{b}
, S_{a}
, S_{b}
лежат на одной окружности.
Докажем, что M_{a}S_{b}\perp HM_{b}
. Проведём перпендикуляр l
к прямой CM
в точке C
. Пусть прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекают прямую l
в точках A_{2}
и B_{2}
соответственно, а AX
и BY
— перпендикуляры у прямой l
. Тогда MC\parallel AX\parallel AY
, поэтому по теореме Фалеса CX=CY
.
Из точек X
и B_{1}
отрезок AB_{2}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB_{1}
. Аналогично, точки Y
и A_{1}
лежат на окружности с диаметром BA_{2}
, а точки A_{1}
и B_{1}
— на окружности с диаметром AB
. Значит (см. задачу 2636),
CX\cdot CB_{2}=CB_{1}\cdot CA=CA_{1}\cdot CB=CY\cdot CA_{2},
откуда CB_{2}=CA_{2}
. Это означает, что прямая CM
— серединный перпендикуляр к отрезку A_{2}B_{2}
. Тогда, используя ранее доказанное равенство \angle S_{a}M_{a}M_{b}=\angle M_{b}S_{b}C
, получим, что
\angle M_{b}S_{b}C=\angle S_{a}M_{a}M_{b}=\angle CM_{a}B_{2}.
Из точек M_{a}
и S_{b}
, лежащих по одну сторону от прямой l
, отрезок B_{2}C
виден под одним и тем же углом, значит, точки B_{2}
, C
, S_{b}
, M_{a}
тоже лежат на одной окружности, а так как \angle B_{2}CM_{a}=90^{\circ}
, то B_{2}M_{a}
— диаметр этой окружности. Значит,
\angle M_{a}S_{b}M_{b}=\angle M_{a}S_{b}B_{2}=90^{\circ}.
Следовательно, M_{a}S_{b}
— высота треугольника M_{a}M_{b}H
. Аналогично доказывается, что и M_{b}S_{a}
— высота этого треугольника.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2014, задача 2