12469. Даны R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, а I
— центр вписанной окружности. Определим точку A_{1}
как точку, симметричную точке I
относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
. Аналогично определим точки B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
подобны и найдите коэффициент подобия.
Ответ. \sqrt{1-\frac{2r}{R}}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Прямые A_{1}I
и BC
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой — серединному перпендикуляру к стороне BC
треугольника ABC
. Аналогично, B_{1}I\parallel AC
и C_{1}I\parallel AB
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, т. е. точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Треугольник A_{1}OI
равнобедренный, так как он симметричен относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
. Аналогично, треугольники B_{1}OI
и C_{1}OI
равнобедренные. Значит, OI=OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}
, поэтому точки I
, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с центром O
и радиусом OI
.
Сумма противоположных углов A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{1}IC_{1}
вписанного в эту окружность четырёхугольника A_{1}IC_{1}B_{1}
равна 180^{\circ}
, а \angle A_{1}IC_{1}=180^{\circ}-\angle ABC
(так как IA_{1}\parallel BC
и IC_{1}\parallel AB
), значит,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}IC_{1}=\angle ABC,
Вписанные углы B_{1}A_{1}C_{1}
и B_{1}IC_{1}
опираются на одну и ту же дугу, а IC_{1}\parallel AB
и IB_{1}\parallel AC
, поэтому
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle B_{1}IC_{1}=\angle BAC.
Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
подобны по двум углам.
Пусть k
— коэффициент подобия. Центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, т. е.
\angle B_{1}OC_{1}=2\angle B_{1}A_{1}C_{1}=2\angle BAC=\angle BOC.
Значит, равнобедренные треугольники BOC
и B_{1}OC_{1}
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k,
а так как OB=OI=\sqrt{R^{2}-2Rr}
(формула Эйлера, см. задачу 126) и OB_{1}=R
, то
k=\frac{\sqrt{R^{2}-2Rr}}{R}=\sqrt{1-\frac{2r}{R}}.
Аналогично для остальных случаев.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2017, задача 7, 8 класс