12476. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, а точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
получены отражением точки O
относительно сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{2}
, C_{2}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно, т. е. точки пересечения со сторонами треугольника серединных перпендикуляров к ним. Эти серединные перпендикуляры пересекаются точке O
(см. задачу 1142). Из условия следует, что A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— середины отрезков OA_{1}
, OB_{1}
, CC_{1}
соответственно.
Отрезок A_{2}B_{2}
— общая средняя линия треугольников A_{1}OB_{1}
и ABC
, поэтому
A_{1}B_{1}=2A_{2}B_{2}=AB~\mbox{и}~A_{1}B_{1}\parallel A_{2}B_{2}\parallel AB.
Значит, ABA_{1}B_{1}
— параллелограмм. Следовательно, его диагонали AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в некоторой точке M
и делятся ею пополам. Аналогично, диагонали AA_{1}
и CC_{1}
параллелограмма ACA_{1}C_{1}
пересекаются в середине M
диагонали AA_{1}
. Следовательно, все три отрезка AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке — точке M
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019-2020, второй этап, задача 3, 9 класс; 2020-2021, второй этап, задача 4, 10 класс