12487. На сторонах AB
и AD
квадрата ABCD
внутрь него построены равносторонние треугольники ABK
и ADM
соответственно. Докажите, что треугольник CKM
тоже равносторонний.
Указание. См. второй способ решения задачи 1041.
Решение. Поскольку AB=AD=AM
, треугольник ABM
равнобедренный с углом 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}
при вершине. Угол при его основании равен
\angle ABM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Тогда
\angle MBC=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.
Аналогично,
\angle BCM=\angle DCK=\angle CDK=15^{\circ}.
Тогда
\angle MCK=90^{\circ}-2\cdot15^{\circ}=60^{\circ},
а так как из равенства равнобедренных треугольников BMC
и CKD
следует, что CM=CK
, то равнобедренный треугольник CKM
— равносторонний.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017, заключительный этап, задача 1, 9 класс