12490. Дан треугольник ABC
. Сторона AB
разбита на четыре равных отрезка AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=B_{3}B
, а сторона AC
— на пять равных отрезков AC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}C_{3}=C_{3}C_{4}=C_{4}C
. Во сколько раз площадь треугольника ABC
больше суммы площадей треугольников C_{1}B_{1}C_{2}
, C_{2}B_{2}C_{3}
, C_{3}B_{3}C_{4}
, C_{4}BC
?
Ответ. В два раза.
Решение. Обозначим площадь S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=S
. Тогда S_{\triangle B_{1}C_{1}C_{2}}=S
, так как B_{1}C_{1}
— медиана треугольника AB_{1}C_{2}
. Аналогично, площадь S_{\triangle B_{1}B_{2}C_{2}}=2S
, так как C_{2}B_{1}
— медиана треугольника AB_{2}C_{2}
.
Поскольку \frac{C_{2}C_{3}}{C_{2}A}=\frac{1}{2}
, то
S_{\triangle B_{2}C_{2}C_{3}}=\frac{1}{2}S_{\triangle AB_{2}C_{2}}=\frac{1}{2}\cdot4S=2S.
(см задачу 3000).
Поскольку \frac{B_{3}B_{2}}{B_{2}A}=\frac{1}{2}
, то
S_{\triangle B_{2}B_{3}C_{3}}=\frac{1}{2}S_{\triangle AB_{2}C_{3}}=\frac{1}{2}\cdot6S=3S.
Поскольку \frac{C_{4}C_{3}}{C_{3}A}=\frac{1}{3}
, то
S_{\triangle C_{3}C_{4}B_{3}}=\frac{1}{3}S_{\triangle AC_{3}B_{3}}=\frac{1}{3}\cdot9S=3S.
Поскольку \frac{BB_{3}}{B_{3}A}=\frac{1}{3}
, то
S_{\triangle C_{4}BB_{3}}=\frac{1}{3}S_{\triangle AB_{3}C_{4}}=\frac{1}{3}\cdot12S=4S.
Поскольку \frac{CC_{4}}{C_{4}A}=\frac{1}{4}
, то
S_{\triangle CC_{4}B}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC_{4}}=\frac{1}{4}\cdot16S=4S.
Следовательно, искомая сумма площадей равна
S+2S+3S+4S=10S,
такая же сумма площадей оставшихся треугольников. Следовательно, искомая сумма составляет половину площади треугольника ABC
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2016, заключительный этап, задача 3, 7 класс