12493. В треугольнике ABC
отрезки AK
, BL
и CM
— высоты, H
— их точка пересечения, S
— точка пересечения MK
и BL
, P
— середина отрезка AH
, T
— точка пересечения прямой LP
со стороной AB
. Докажите, что прямая ST
перпендикулярна стороне BC
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
, и найдём другие углы треугольника ABC
.
1. Из точек M
и K
сторона AC
видна по прямым углом, значит, точки M
и K
лежат на окружности с диаметром AC
.
2. Четырёхугольник AMKC
вписанный, поэтому
\angle AMK=180^{\circ}-\angle ACK=180^{\circ}-\gamma.
3. Из прямоугольных треугольников AKC
и ALH
получаем
\angle AHL=90^{\circ}-\angle CAK=90^{\circ}-(90^{\circ}-\gamma)=\gamma.
4. Отрезок LP
— медиана прямоугольного треугольника AHL
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому треугольник LPH
равнобедренный, LP=\frac{1}{2}AH=PH
(см. задачу 1109). Значит,
\angle PLH=\angle PHL=\angle AHL=\gamma.
5. Поскольку
\angle TMS+\angle TLS=\angle AMK+\angle PLH=(180^{\circ}-\gamma)+\gamma=180^{\circ},
четырёхугольник TMSL
вписанный.
6. Из точек M
и L
сторона BC
видна по прямым углом, значит, точки M
и L
лежат на окружности с диаметром BC
. Тогда (см. задачу 141)
\angle TML=\angle AML=\angle ACB=\gamma.
7. Поскольку четырёхугольник TMSL
вписанный,
\angle TSL=\angle TML=\gamma.
8. Поскольку \angle TSL=\angle AHL=\gamma
, прямые ST
и AK
параллельны, а так как AK\perp BC
, то ST\perp BC
. Что и требовалось доказать.