12496. Два равных отрезка AB
и CD
перпендикулярны, причём точка C
лежит внутри отрезка AB
. Точка X
такова, что треугольники XAD
и XBC
равнобедренные с вершиной в точке X
. Докажите, что эти треугольники прямоугольные.
Решение. Треугольники CDX
и BAX
равны по трём сторонам, значит,
\angle CAX=\angle BAX=\angle CDX.
Из точек D
и A
, лежащих по одну сторону от прямой CX
, отрезок CX
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник ACXD
вписан в некоторую окружность (см. задачу 12), а так как \angle ACD=90^{\circ}
, то AD
— её диаметр. Тогда \angle AXD=90^{\circ}
, следовательно, равнобедренный треугольник XAD
прямоугольный.
По свойству вписанного четырёхугольника
\angle BCX=180^{\circ}-\angle ACX==\angle ADX=45^{\circ}.
Угол при основании BC
равнобедренного треугольника XBC
равен 45^{\circ}
, следовательно, и этот треугольник прямоугольный.