12497. Две прямые, проходящие через две различные вершины треугольника разбивают его на три треугольника и четырёхугольник. Могут ли все треугольники иметь одинаковую площадь?
Ответ. Не могут.
Решение. Пусть на сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны такие точки E
и D
соответственно, что отрезки AD
и CE
разбивают треугольник указанным в условии способом и пересекаются в точке P
. Из равенства площадей треугольников APE
и APC
следует равенство отрезков PE
и PC
(см. задачу 3000). Аналогично, из равенства площадей треугольников APC
и CPD
следует равенство отрезков AP
и PD
. Таким образом, в четырёхугольнике AEDC
диагонали делятся точкой P
пересечения пополам. Следовательно, это параллелограмм. Тогда AE\parallel CD
, что невозможно.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014, заключительный этап, задача 2, 9 класс