12510. Через некоторую точку плоскости проходят четыре различные прямые n
, m
, l
и p
. Они обозначены по часовой стрелке. Известно, что угол между l
и m
равен углу между n
и p
. Из произвольной точки A
плоскости, не лежащей на этих прямых, на прямые n
, m
, l
и p
опустили перпендикуляры AN
, AM
, AL
и AP
соответственно. Докажите, что прямые LP
и MN
параллельны.
Решение. Обозначим через O
точку пересечения прямых l
, m
, n
, p
. Из точек L
, M
, N
и P
отрезок AO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AO
. Пусть точка A
лежит внутри угла между прямыми p
и l
, например, внутри угла LOP
(см. рис.). Стороны углов LAM
и LOM
соответственно перпендикулярны, поэтому сами углы равны. Аналогично, равны углы PAN
и PON
. По условию, углы LOM
и PON
равны как углы между прямыми l
и m
, и между прямыми n
и p
. Следовательно, дуги LM
и PN
окружности, на которые опираются эти углы, равны. Следовательно, они заключены между параллельными хордами, т. е. PL\parallel MN
(см. примечание к задаче 1678).
Аналогично рассматривается случай, когда точка A
лежит между прямыми m
и l
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2010, заключительный этап, задача 4, 11 класс