12516. В треугольнике
ABC
отрезки
AM
и
CP
— биссектрисы, причём
AP+CM=AC
. Найдите угол
ABC
.
Ответ.
60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть
O
— точка пересечения биссектрис
AM
и
CP
. Отметим на стороне
AC
точку
K
, для которой
AK=AP
. Тогда по условию
CK=CM
. Треугольники
APO
и
AKO
равны по двум сторонам (
AP=AK
,
AO
— общая) и углу между ними. Значит,
OP=OK
. Аналогично, равны треугольники
CMO
и
CKO
, откуда
OK=OM
. Следовательно,
OP=OM
.
1) Опустим из точки
O
перпендикуляры
OE
,
OH
и
OT
на стороны
AB
,
BC
и
AC
соответственно (
E
,
H
и
T
— точки касания вписанной окружности треугольника
ABC
с соответствующими сторонами, а
OE=OH=OT
— радиусы вписанной окружности).
Если точка
P
лежит между
A
и
E
, то
AP\lt AE
, поэтому
AK=AP\lt AE=AT~\Rightarrow~CM=CK\gt CT=CH.

Значит, точка
M
лежит между
B
и
H
. Аналогично, если точка
P
лежит между
B
и
P
, то точка
M
лежит между
C
и
M
.
2) Прямоугольные треугольники
OEP
и
OHM
равны по катету (
OE=OH
) и гипотенузе (
OP=OM
), значит,
\angle EPO=\angle HMO
. При этом, если угол
EPO
внутренний для четырёхугольника
BPOM
, то
HMO
— внешний, и наоборот. Следовательно, сумма углов
\angle OPB+\angle OMB=180^{\circ},

поэтому четырёхугольник
BPOM
— вписан в окружность.
3) Обозначим
\angle ABC=\beta
. Тогда
\angle POM=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
(см. задачу 4770), а так как четырёхугольник
BPOM
вписанный, то
\beta+\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)=180^{\circ},

откуда находим, что
\beta=60^{\circ}
.
Второй способ. Обозначим
BC=a
,
AC=b
и
AB=c
. Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) следует, что
AP=\frac{bc}{a+b},~CM=\frac{ab}{b+c}.

По условию
b=\frac{bc}{a+b}+\frac{ab}{b+c},~\mbox{или}~1=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c},

откуда
ab+b^{2}+ac+bc=bc+c^{2}+a^{2}+ab,~\mbox{или}~b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac.

По теореме косинусов
\cos\angle ABC=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{a^{2}+c^{2}-a^{2}-c^{2}+ac}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}.

Следовательно,
\angle ABC=60^{\circ}
.
Примечание. Верно следующее утверждение: если биссектрисы
AM
и
CP
пересекаются в точке
O
и при этом
OP=OM
, то либо
AB=BC
, либо
\angle ABC=60^{\circ}
(см. задачу 11877). В нашей задаче из условия
AP+CM=AC
следует, что
\angle ABC=60^{\circ}
и в случае, когда
AB=BC
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019-2020, первый этап, задача 4, 10 класс