12521. Точка M
— середина гипотенузы BC
прямоугольного треугольника ABC
, а точка P
делит катет AC
в отношении AP:PC=1:2
. Докажите, что \angle PBC=\angle AMP
.
Решение. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 1109), треугольник AMC
— равнобедренный, AM=CM
, \angle ACM=\angle CAM
.
Отметим на катете AC
середину T
отрезка PC
. Тогда AP=PT=TC
, поэтому треугольники AMP
и CMT
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны и их соответствующие углы AMP
и CMT
.
Поскольку T
и M
— середины отрезков CP
и CB
, отрезок MT
— средняя линия треугольника CBP
, поэтому MT\parallel BP
. Следовательно,
\angle AMP=\angle CMT=\angle PBC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017-2018, первый этап, задача 3, 9 класс