12526. Точка A'
симметрична вершине A
четырёхугольника ABCD
относительно B
, точка B'
симметрична вершине B
относительно C
, точка C'
симметрична вершине C
относительно D
, а точка D'
симметрична вершине D
относительно A
. С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник ABCD
, если даны точки A'
, B'
, C'
и D'
.
Решение. Пусть O
— произвольная точка плоскости. Обозначим \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{x}
. Тогда (см. задачу 4500)
\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA'})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'}),
откуда \overrightarrow{a'}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}
. Аналогично,
\overrightarrow{b'}=2\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{c'}=2\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c},~\overrightarrow{d'}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d}.
Умножив второе из этих равенств на 2 и сложив результат с первым, получим
\overrightarrow{a'}+2\overrightarrow{b'}=4\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}.
Аналогично получим
\overrightarrow{a'}+2\overrightarrow{b'}+4\overrightarrow{c'}=8\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a},
\overrightarrow{a'}+2\overrightarrow{b'}+4\overrightarrow{c'}+8\overrightarrow{d}=16\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}=15\overrightarrow{a},
откуда
\overrightarrow{a}=\frac{1}{15}(\overrightarrow{a'}+2\overrightarrow{b'}+4\overrightarrow{c'}+8\overrightarrow{d}).
Следовательно, можно построить вектор \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a'}
, а значит, точку A
. Затем строим середину B
отрезка AA'
и т. д.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1980, № 2, задача 9-1, с. 40