12527. Медиана AM
треугольника ABC
делит отрезок PR
, параллельный стороне AC
, с концами на сторонах AB
и BC
, на отрезки, равные 5 и 3, считая от стороны AB
. Чему равна сторона AC
?
Ответ. 13.
Решение. Первый способ. Пусть точка P
лежит на стороне AB
, Q
— точка пересечения отрезка PR
с медианой AM
, а N
— середина стороны AB
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MN=\frac{1}{2}AC
.
Треугольник APQ
подобен треугольнику ANM
с коэффициентом \frac{AQ}{AM}=k
. Треугольник MQR
подобен треугольнику MAC
с коэффициентом \frac{MQ}{AM}
. Сумма этих коэффициентов равна 1, поэтому \frac{MQ}{AM}=1-k
. Тогда
kMN=k\cdot\frac{1}{2}AC=5,~kAC=10,~(1-k)AC=3.
Сложив два последних равенства, получим, что AC=13
.
Второй способ. Пусть точка P
лежит на стороне AB
, Q
— точка пересечения отрезка PR
с медианой AM
, а прямая, проведённая через точку P
параллельно BC
, пересекает AM
и AC
в точках D
и E
соответственно.
Треугольник MQR
подобен треугольнику DQP
с коэффициентом
\frac{MR}{DP}=\frac{QR}{QP}=\frac{3}{5}.
Положим MR=3x
, DP=5x
. Поскольку D
— середина отрезка PE
(см. задачу 2607), а CEPR
— параллелограмм, то CR=PE=10x
. Тогда
BM=MC=3x+10x=13x,
и треугольник ABC
подобен треугольнику PBR
с коэффициентом
\frac{BC}{BR}=\frac{26x}{13x+3x}=\frac{13}{8}.
Следовательно,
AC=\frac{13}{8}PR=\frac{13}{8}\cdot8=13.