12531. Дан треугольник ABC
. На сторонах AB
и BC
взяты точки D
и E
соответственно таким образом, что \angle ACB=2\angle BED
. Докажите, что AC+EC\gt AD
.
Решение. Продолжим отрезок DE
до пересечения с продолжением стороны AC
за вершину C
в точке P
. Угол при вершине E
треугольника PCE
равен половине его внешнего угла ECA
, поэтому треугольник PCE
равнобедренный, CE=CP
. Тогда AC+EC=AP
.
Поскольку ADP
— внешний угол треугольника DBE
, а
\angle BED=\angle CEP=\angle EPC=\angle DPA,
то
\angle ADP\gt\angle BED=\angle APD.
Значит, в треугольнике ADP
против большего угла ADP
лежит большая сторона AP
(см. задачу 3499), т. е. AP\gt AD
. Следовательно,
AC+EC=AC+CP=AP\gt AD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014-2015, первый этап, задача 4, 9 класс; 2012-2013, первый этап, задача 4, 8-9 класс