12537. Через середину хорды AB
некоторой окружности проведён диаметр. Обозначим точку пересечения его с окружностью за C
, а точку пересечения его продолжения с касательной к окружности, проведённой в точке A
, — E
. При этом середина AB
лежит между C
и центром окружности. Докажите, что AC
— биссектриса угла BAE
.
Решение. Вписанный угол CBA
опирается на дугу CA
, поэтому равен углу CAE
между этой хордой и касательной AE
(см. задачу 87). С другой стороны, поскольку треугольник ABC
равнобедренный, углы CBA
и CAB
равны. Значит, CAB
и CAE
тоже равны. Следовательно, луч AC
— биссектриса угла BAE
.