12546. Пусть точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Известно, что \angle ACB=30^{\circ}
и \angle AMB=45^{\circ}
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 105^{\circ}
.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CAM=\angle AMB-\angle ACM=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
Отметим на стороне AC
точку P
, для которой \angle AMP=15^{\circ}
. Тогда
\angle MPC=2\angle MAC=30^{\circ}=\angle MCP.
Значит, треугольники PAM
и MPC
равнобедренные, и AP=PM=MC=MB
. Медиана PM
треугольника BPC
равна половине стороны BC
, поэтому треугольник BPC
прямоугольный с прямым углом BPC
(см. задачу 1188). Тогда
\angle CBP=90^{\circ}-\angle MCP=60^{\circ},
а так как
\angle BMP=\angle BMA+\angle AMP=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ},
то треугольник BMP
равносторонний. Тогда BP=MP=AP
, а так как
\angle APB=\angle CPB=90^{\circ},
то треугольник APB
прямоугольный и равнобедренный, \angle ABP=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle ABP+\angle CBP=45^{\circ}+60^{\circ}=105^{\circ}.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009-2010, первый этап, задача 3, 9-10 класс