12548. В треугольнике ABC
стороны таковы, что AB\lt AC\lt AB
. Какая вершина треугольника — ближайшая к центру вписанной окружности треугольника ABC
?
Ответ. Вершина B
.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
, AC=b
(c\lt a\lt b
), p
— полупериметр треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника, а A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно. Докажем, что из неравенства a\lt b
следует неравенство BI\lt AI
.
Действительно (см. задачу 219),
BC_{1}=p-b\lt p-a=AC_{1}.
Тогда по теореме Пифагора
BI^{2}=BC_{1}^{2}+IC_{1}^{2}=(p-b)^{2}+r^{2}\lt(p-a)^{2}+r^{2}=AC_{1}^{2}+IC_{1}^{2}=AI^{2}.
Значит, BI\lt AI
. Аналогично, BI\lt CI
. Следовательно, вершина B
— ближайшая к центру вписанной окружности треугольника ABC
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2008-2009, первый этап, задача 3, 9 класс