12549. Внутри прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 расположены две одинаковые окружности так, что первая касается гипотенузы и малого катета, вторая касается гипотенузы, большего катета и первой окружности. Найдите радиус окружностей.
Ответ. \frac{5}{7}
.
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник, в котором BC=3
, AC=4
. Тогда AB=5
. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{4}{5},~\cos\beta=\frac{3}{5},
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{1}{3},
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}.
Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом r
касается гипотенузы AB
в точке M
, а окружность с центром O_{2}
и те же радиусом r
касается гипотенузы AB
в точке N
. Четырёхугольник NMO_{1}O_{2}
— прямоугольник, в котором O_{1}O_{2}=2r
(см. задачу 1758), поэтому MN=O_{1}O_{2}=2r
.
Из прямоугольных треугольников ANO_{2}
и BMO_{1}
получаем, что
AN=\frac{O_{2}N}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\frac{1}{3}}=3r,
AN=\frac{O_{1}M}{\tg\frac{\beta}{2}}=\frac{r}{\frac{1}{2}}=2r,
а так как
5=AB=AN+NM+MB=3r+2r+2r=7r,
то r=\frac{5}{7}
.