12555. На продолжении диаметра AB
полукруга за точку B
взята произвольная точка C
, через которую проведена касательная к этому полукругу, касающаяся его в точке E
. Пусть биссектриса угла BCE
пересекает хорды AE
и BE
полукруга в точках K
и M
соответственно. Докажите, что треугольник KEM
равнобедренный.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle MEC=\angle BEC=\angle CAE,
а так как \angle MCE=\angle ACK
(луч CK
— биссектриса угла ACE
), то третьи углы AKC
и EMC
треугольников AKC
и EMC
тоже равны. Значит, равны и смежные с ними углы EKM
и EMK
. Следовательно, треугольник KEM
равнобедренный, EK=EM
.