12556. В треугольнике ABC
взята точка P
, причём сумма углов PBA
и PCA
равна сумме углов PBC
и PCB
. Докажите, что расстояние от вершины A
до точки P
не меньше расстояния от A
до точки I
— центра вписанной в треугольник ABC
окружности, и если эти расстояния равны, то точка P
совпадает с I
.
Решение. Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle PBA=\beta_{1},~\angle PCA=\gamma_{1},~\angle PBC=\beta_{2},~\angle PCB=\gamma_{2}.
Тогда по условию задачи
\beta_{1}+\gamma_{1}=\beta_{2}+\gamma_{2},
а так как
\beta_{1}+\gamma_{1}+\beta_{2}+\gamma_{2}=(\beta_{1}+\beta_{2})+(\gamma_{1}+\gamma_{2})=
=\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\alpha,
то
\beta_{1}+\gamma_{1}=\beta_{2}+\gamma_{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Значит,
\angle BPC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\angle AIC
(см. задачу 4770).
Из точек P
и I
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, поэтому точки B
, C
, P
и I
лежат на одной окружности — описанной окружности треугольника BIC
.
Пусть M
— точка пересечения луча AI
с описанной окружности треугольника ABC
. Тогда MB=MI=MC
(см. задачу 788), т. е. M
— центр окружности, описанной около треугольника BIC
. Тогда AP\geqslant AI
(см. задачу 467). Следовательно, расстояние от вершины A
до точки P
, лежащей на этой окружности, не меньше AI
, и равно AI
только при совпадении P
и I
. Что и требовалось доказать.