12559. В параллелограмме провели диагонали, а затем провели биссектрисы всех углов, образованных ими, до пересечения со сторонами параллелограмма. Эти точки назвали соответственно A
, B
, C
и D
. Докажите, что ABCD
— ромб.
Решение. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, а биссектрисы вертикальных углов образуют прямую. Кроме того, любой отрезок с концами на сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам (см. задачу 1861). Следовательно, ABCD
— параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, т. е. ромб.