12566. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. Из середины D
основания на сторону BC
опущен перпендикуляр DH
. Отрезки AH
и BD
пересекаются в точке E
. Какой из отрезков BH
и BE
длиннее?
Ответ. BH\gt BE
.
Решение. Треугольник AED
прямоугольный, так как BD
медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника. Обозначим \angle AHD=\beta
, \angle HAD=\alpha
. Тогда
\angle AED=90^{\circ}-\alpha,~\angle BHE=90-\beta,
так как угол BHD
прямой. В прямоугольном треугольнике DHC
гипотенуза DC
больше катета DH
, значит, AD=DC\gt DH
. Следовательно, \beta\gt\alpha
(см. задачу 3499), так как в треугольнике AHD
против большей стороны лежит больший угол. Таким образом,
\angle EHB=90^{\circ}-\beta\lt90^{\circ}-\alpha=\angle BEH.
Следовательно, BE\lt BH
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, второй этап, задача 4, 8 класс