12572. Точки M
и N
— середины сторон AD
и CD
параллелограмма ABCD
. Известно, что BM=1
, BN=2
и \angle MBN=60^{\circ}
. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ. AB=\frac{4}{3}
, BC=\frac{2\sqrt{13}}{3}
.
Решение. В треугольнике BMN
одна сторона вдвое больше другой, а угол между эти сторонами равен 60^{\circ}
, значит (см. задачу 2643), треугольник BMN
прямоугольный с прямым углом при вершине M
. По теореме Пифагора находим, что MN=\sqrt{3}
.
Пусть продолжение медианы MK
треугольника BMN
пересекает сторону BC
в точке L
. Поскольку MK
— средняя линия трапеции ADNB
, то MK\parallel AB\parallel CD
, L
— середина стороны BC
, а так как MK
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, то MK=\frac{1}{2}BM
(см. задачу 1109).
Обозначим AB=CD=x
. Отрезок MK
— средняя линия трапеции ADNB
с основаниями AB=x
и DN=\frac{x}{2}
, поэтому
MK=\frac{AB+DN}{2},~\mbox{или}~1=\frac{x+\frac{x}{2}}{2},
откуда
CD=AB=x=\frac{4}{3}.
Обозначим AD=BC=y
. Пусть P
— точка пересечения прямых MN
и BC
. Из равенства треугольников CNP
и DNM
(по стороне CN=DN
и двум прилежащим к ней углам) получаем, что
CP=MD=\frac{y}{2},~NP=BC+CP=y+\frac{y}{2}=\frac{3y}{2},~MP=2MN=2\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника BMP
находим, что
\frac{3y}{2}=BP=\sqrt{BM^{2}+MP^{2}}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}.
Следовательно,
AD=BC=y=\frac{2\sqrt{13}}{3}.