12574. Через вершины треугольника ABC
проведены параллельные прямые l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
. Пусть прямая a
симметрична высоте AH_{a}
относительно прямой l_{a}
. Аналогично определяем b
, c
. Докажите, что прямые a
, b
, c
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть BH_{b}
— вторая высота треугольника ABC
, прямые a
и b
пересекаются в точке P
, прямые b
и BH_{b}
пересекают прямую l_{a}
в точке K
и L
соответственно, прямая AH_{a}
пересекает прямую l_{b}
в точке N
, а M
— точка на продолжении отрезка BN
за точку M
.
Обозначим \angle LAN=\alpha
, \angle LBN=\beta
. Тогда из параллельности прямых l_{a}
и l_{b}
и из симметрии получаем
\angle ALB=\angle LBN=\beta,~\angle AKP=\angle PBM=\angle KBM=\beta,
а так как AHB
— внешний угол треугольника AHL
, то \angle AHB=\alpha+\beta
.
С другой стороны,
\angle KAP=\angle LAN=\alpha,~\angle PBM=\angle NBH=\beta,
а так как APB
— внешний угол треугольника APK
, то \angle APB=\alpha+\beta
. Значит, \angle APB=\angle AHB
.
Известно, что точка T
, симметричная ортоцентру H
треугольника относительно его стороны, лежит на описанной окружности треугольника (см. задачу 4785). В нашем случае \angle APB=\angle AHB=\angle ATB
, поэтому точка P
тоже лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Таким образом, прямые a
и b
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Аналогично, прямая c
пересекается с прямыми a
и b
на этой окружности. При этом, они не совпадают с прямыми AB
, BC
и AC
, следовательно, a
, b
и c
пересекаются в одной точке.
Аналогично для любого другого случая.