12578. Через точку внутри треугольника провели три чевианы (т. е. три отрезка, соединяющих вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне). Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
Решение. Будем считать, что длина наименьшего из шести отрезков равна 1. Тогда длины остальных равны q
, q^{2}
, q^{3}
, q^{4}
и q^{5}
, где q\geqslant1
— знаменатель прогрессии. По теореме Чевы (см. задачу 1621) произведение каких-то трёх из этих отрезков равно произведению трёх остальных, т. е. \sqrt{q^{15}}
. Это возможно только при q=1
. Значит, данный треугольник равносторонний а чевианы являются его медианами, т. е. их длины равны.