12579. Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}
— пятиугольник площади S
, вписанный в окружность с центром O
и радиусом R
. Обозначим его диагонали A_{1}A_{3}=d_{1}
, A_{2}A_{4}=d_{2}
, …, A_{5}A_{2}=d_{5}
, а также площади четырёхугольников S_{OA_{1}A_{2}A_{4}}=S_{1}
, S_{OA_{2}A_{3}A_{4}}=S_{2}
, … , S_{OA_{5}A_{1}A_{2}}=S_{5}
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{1}\leqslant\frac{1}{2}A_{1}A_{3}\cdot OA_{2}=\frac{1}{2}d_{1}R,~\dots~,~S_{5}\leqslant\frac{1}{2}A_{5}A_{2}\cdot OA_{1}=\frac{1}{2}d_{5}R.
Сумма площадей этих пяти четырёхугольников не меньше удвоенной площади пятиугольника, поэтому
2S\leqslant S_{1}+\dots+S_{5}\leqslant\frac{1}{2}R(d_{1}+\dots+d_{5}).
Следовательно,
\frac{S}{d_{1}+\dots+d_{5}}\leqslant\frac{1}{4}R.
Что и требовалось доказать.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, финальный тур, первый день, задача 2, 9 класс