12581. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. На стороне BC
нашлись точки X
и Y
, для которых AX=BX
и AY=CY
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника AXY
, проходит через центры описанных окружностей треугольников AOB
и AOC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для любого другого расположения точек доказательство аналогично.
Точки X
и O
равноудалены от концов отрезка AB
, значит, прямая XO
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Значит, центр O_{1}
описанной окружности треугольника AOB
лежит на прямой OX
. Центральный угол AO_{1}O
этой окружности вдвое больше соответствующего вписанного угла ABO
, поэтому
\angle AO_{1}X=\angle AO_{1}O=2\angle ABO=2\cdot\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=
=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-2\angle ACB.
С другой стороны, из равнобедренного треугольника CAY
получаем, что
\angle AYX=\angle AYC=180^{\circ}-2\angle ACB.
Значит, \angle AO_{1}X=\angle AYX
. Следовательно, центр O_{1}
описанной окружности треугольника AOB
лежит на описанной окружности треугольника AXY
(см. задачу 12)
Аналогично докажем, что центр O_{2}
описанной окружности треугольника AOC
тоже лежит на описанной окружности треугольника AXY
.