12583. Дан правильный пятиугольник ABCDE
. На стороне AE
отмечена точка K
, на стороне CD
— точка L
. Известно, что \angle LAE+\angle KCD=108^{\circ}
, AK:KE=3:7
, Найдите CL:AB
.
Ответ. 0,7.
Решение. Первый способ. Все пять диагоналей правильного пятиугольника равны. Также каждая диагональ отсекает от пятиугольника равнобедренный треугольник с углом 108^{\circ}
при вершине и углами 36^{\circ}
при основании.
Обозначим \angle LAE=\alpha
. Тогда
\angle KCD=108^{\circ}-\alpha,~\angle BCK=\alpha.
Сумма углов четырёхугольника ABCK
, как и четырёхугольника ALDE
, равна 360^{\circ}
, поэтому
\angle CKA=360^{\circ}-\angle KAB-\angle ABC-\angle BCK=360^{\circ}-108^{\circ}-108^{\circ}-\alpha=
=360^{\circ}-\angle LDE-\angle DEA-\angle EAL=\angle ALD.
Докажем, что треугольники ALD
и CKA
равны. Равенство одной пары углов у нас уже есть. Далее,
\angle ADL=\angle CDE-\angle ADE=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}.
Аналогично, \angle CAK=72^{\circ}
. Тогда равны и третьи углы этих треугольников. Значит, треугольники равны по стороне AD=AC
и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, LD=AK
.
Положим AK=3x
, KE=7x
. Тогда
CD=AB=AE=10x
как стороны правильного пятиугольника. Значит,
CL=CD-LD=CD-AK=10x-3x=7x.
Следовательно,
\frac{CL}{AB}=\frac{7x}{10x}=\frac{7}{10}=0{,}7.
Второй способ. При повороте на угол 2\cdot72^{\circ}=144^{\circ}
вокруг своего центра, переводящем вершину D
в A
, сторона EA
переходит — в сторону BC
, а сторона CD
— в сторону EA
.
Каждый угол правильного пятиугольника равен \frac{180^{\circ}(5-2)}{5}=108^{\circ}
(см. задачу 1198) и \angle LAE+\angle KCD=108^{\circ}
, поэтому \angle LAE=\angle KCB
. Значит, луч AL
при рассматриваемом повороте переходит в луч CK
. Точка L
, лежащая на стороне CD
, переходит в точку K
, лежащую на стороне EA
, поэтому
CL=KE=\frac{7}{10}AE=\frac{7}{10}AB.
Следовательно, \frac{CL}{AB}=\frac{7}{10}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, школьный этап, задача 4, 11 класс