12597. На окружности по часовой стрелке расположены точки A
, B
, C
, D
, E
, F
, как изображено на рисунке. Хорды AD
и CE
пересекаются в точке X
под прямым углом, хорды AD
и BF
пересекаются в точке Y
. Известно, что CX=12
, XE=27
, XY=15
, BY=9
, YF=11
.
а) Найдите AD
.
б) Найдите радиус окружности.
Ответ. а) 36; б) 19,5.
Решение. Пусть AY=a
, XD=b
. Тогда (см. задачу 2627)
324=12\cdot27=b(15+a),~99=9\cdot11=a(b+15).
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 225=15(b-a)
, или b-a=15
. Тогда
18^{2}=12\cdot27=b(15+a)=(15+a)^{2},
откуда 18=15+a
, a=3
. Следовательно,
b=18,~AD=a+15+b=3+15+18=36.
Итак, AX=XD=18
.
Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AD
, а значит, на отрезке XE
. Тогда CE
— диаметр данной окружности. Следовательно, её радиус равен
\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}(12+27)=19{,}5.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 5, 11 класс