12601. Внутри квадрата ABCD
отмечены точки K
и M
(точка M
находится внутри треугольника ABD
, точка K
— внутри треугольника BMC
), причём треугольники BAM
и DKM
равны. Найдите \angle KCM
, если \angle AMB=100^{\circ}
.
Ответ. 35^{\circ}
.
Решение. Заметим, что треугольники ABM
и ADM
также равны (по трём сторонам). Значит, \angle BAM=\angle DAM
, т. е. луч AM
— биссектриса прямого угла BAD
, поэтому точка M
лежит на диагонали AC
квадрата. Тогда
\angle MCD=\angle MAD=\angle MAB=45^{\circ}.
Кроме этого, из равенства треугольников BAM
и DKM
следует, что
\angle MKD=\angle BAM=45^{\circ}.
Из точек C
и K
, лежащих по одну сторону от прямой KM
, отрезок KM
виден под одним и тем же углом. Значит, точки D
, C
, K
и M
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Вписанные в эту окружность углы KCM
и KDM
опираются на дну и ту же дугу. Следовательно,
\angle KCM=\angle KDM=\angle ABM=180^{\circ}-\angle BAM-\angle AMB=
=180^{\circ}-45^{\circ}-100^{\circ}=35^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, школьный этап, задача 5, 10 класс