12610. Окружности с центрами M
и N
касаются внешним образом в точке P
. Этих окружностей касается внешним образом окружность с центром Q
. Диаметр FG
этой окружности параллелен прямой MN
. Точка W
— радикальный центр трёх данных окружностей. Докажите, что отрезок WQ
равен радиусу описанной окружности треугольника PFG
.
Решение. Пусть T
— точка касания данных окружностей с центрами M
и Q
.
Поскольку W
— радикальный центр трёх данный окружностей, то WP=WT
(см. примечание к задаче 6392). Обозначим t=WP=WT
, r
— радиус данной окружности с центром Q
. Из прямоугольного треугольника QTW
получаем, что
WQ^{2}=WT^{2}+QT^{2}=t^{2}+r^{2}.
Пусть точки P
, W
и Q
не лежат на одной прямой. Достроим треугольник PWQ
до параллелограмма PWQC
. Тогда QC\perp FG
, так как WP\perp MN
и FG\parallel MN
. Значит,
QC=WP=t,~CP^{2}=WQ^{2}=t^{2}+r^{2}=CG^{2}=CF^{2},
поэтому C
— центр описанной окружности треугольника PFG
, и при этом отрезок WQ
равен радиусу CP
этой окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
Если же точки P
, W
и Q
лежат на одной прямой, то на луче QP
отложим отрезок QC=PW
, а далее — аналогично рассмотренному случаю.