1262. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и \sqrt{13}
, а медиана, проведённая к третьей, равна 2.
Ответ. \sqrt{3}
.
Указание. С помощью формулы для медианы треугольника (m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})
) найдите третью сторону треугольника (или на продолжении медианы за середину стороны отложите отрезок, равный медиане).
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AB=\sqrt{13}
, AC=1
, медиана AM=2
. Из формулы для медианы треугольника (см. задачу 4014) следует, что
4AM^{2}=2AC^{2}+2AB^{2}-BC^{2}.
Отсюда находим, что
BC^{2}=2+26-16=12.
Поскольку
AB^{2}=13=1+12=AC^{2}+CB^{2},
то треугольник ACB
— прямоугольный, \angle C=90^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle ACB}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\sqrt{3}.